26. | Исследовать поведение при t ® +¥ решений систем
{ |
x' = y, |
{ |
x' = y, |
y' = 2sin y y x, |
y' = 2x x3 x2 ey, |
где e << 1. |
27. | Нарисовать образы решений уравнения x'' = kx' dU/dx на плоскости (x, E), где E = (x')2/2 + U (x), вблизи невырожденных критических точек потенциала U. |
28. | Нарисовать фазовый портрет и исследовать его изменение при изменении малого комплексного параметра e:
z' = ez (1 + i) z |z|2 + z 4.
|
29. | Заряд движется со скоростью 1 по плоскости под действием перепендикулярного ей сильного магнитного поля B(x, y). В какую сторону будет дрейфовать центр ларморовской окружности? Вычислить скорость этого дрейфа (в первом приближении). [Математически речь идет о кривых кривизны NB, где N ® ¥.] |
30. | Найти сумму индексов особых точек векторного поля zz 2 + z4 + 2z 4, отличных от нуля. |
31. | Найти индекс особой точки 0 векторного поля с компонентами (x4 + y4 + z4, x3y xy3, xyz2). |
32. | Найти индекс особой точки 0 векторного поля grad(xy + yz + zx). |
33. | Найти коэффициент зацепления фазовых траекторий уравнения малых колебаний x'' = 4x, y'' = 9y на поверхности уровня полной энергии. |
34. | Исследовать особые точки кривой y = x3 на проективной плоскости. |
35. | Нарисовать геодезические на поверхности (x2 + y2 2)2 + z2 = 1. |
36. | Нарисовать эвольвенты кубической параболы y = x3 (эвольвента это геометрическое место точек r(s) + (c s)r'(s), где s длина вдоль кривой r(s), c константа). |
37. | Доказать, что поверхности в евклидовом пространстве ((A λE)1x, x) = 1, проходящие через точку x и соответствующие разным значениям λ (A симметричный оператор без кратных собственных чисел) попарно ортогональны. |
38. | Вычислить интеграл от гауссовой кривизны поверхности z4 + (x2 + y2 1)(2x2 + 3y2 1) = 0. |
39. | Вычислить интеграл Гаусса
Ì |
É |
òò |
(dA, dB, A B) |A B|3 |
, |
где A пробегает кривую x = cos α, y = sin α, z = 0, а B кривую x = 2cos2β, y = ½ sin β, z = sin 2β. |
40. | Перенести параллельно направленный в Ленинграде (широта 60°) на север вектор с запада на восток вдоль замкнутой параллели. |
41. | Найти геодезическую кривизну прямой y = 1 на верхней полуплоскости с метрикой Лобачевского-Пуанкаре ds2 = (dx2 + dy2)/y2. |
42. | Пересекаются ли в одной точке медианы треугольника на плоскости Лобачевского? А высоты? |
43. | Найти числа Бетти поверхности x12 + ... + xk2 y12 ... yl2 = 1 и множества x12 + ... + xk2 £ 1 + y12 + ... + yl2 в k+l-мерном линейном пространстве. |
44. | Найти числа Бетти поверхности x2 + y2 = 1 + z2 в трехмерном проективном пространстве. То же для поверхностей z = xy, z = x2, z2 = x2 + y2. |
45. | Найти индекс самопересечения поверхности x4 + y4 = 1 в проективной плоскости CP². |
46. | Отобразить конформно внутренность единичного круга на первый квадрант. |
47. | Отобразить конформно внешность круга на внешность данного эллипса. |
48. | Отобразить конформно полуплоскость без перпендикулярного ее краю отрезка на полуплоскость. |
49. | Вычислить
Ç |
È |
ò |z| = 2 |
dz Ö1 + z10 |
. |
|
50. | Вычислить
+ ¥ ò ¥ |
e i k x 1 + x² |
dx. |
|