51. | Вычислить интеграл
+ ¥ ò ¥ |
e i k x |
1 ex 1 + ex |
dx. |
|
52. | Вычислить первый член асимптотики при k ® ¥ интеграла
+ ¥ ò ¥ |
e i k x Ö1 + x2n |
dx. |
|
53. | Исследовать особые точки дифференциальной формы dt = dx/y на компактной римановой поверхности y2/2 + U (x) = E, где U многочлен, а E не критическое значение. |
54. | x'' = 3x x3 1. В которой из ям больше период колебаний (в более мелкой или более глубокой) при равных значениях полной энергии? |
55. | Исследовать топологически риманову поверхность функции w = arctg z. |
56. | Сколько ручек имеет риманова поверхность функции w = Ö1 + zn. |
57. | Найти размерность пространства решений задачи
¶u ¶z |
= d(z i) при Im z ³ 0, |
|
Im u(z)|Im z = 0 = 0, |
|
u|z ® ¥ ® 0. |
|
58. | Найти размерность пространства решений задачи
¶u ¶z |
= ad(z i) + bd(z + i) при |z| £ 2, |
|
Im u(z)||z| = 2 = 0. |
|
59. | Исследовать существование и единственность решения задачи
y |
¶u ¶x |
= x |
¶u ¶y |
, |
u|x = 1 = cos y |
в окрестности точки (1, y0). |
60. | Существует ли и единственно ли решение задачи Коши
x(x2 + y2) |
¶u ¶x |
+ y3 |
¶u ¶y |
= 0, |
|
u|y = 0 = 1 |
в окрестности точки (x0, 0) оси x?
|
61. | При каком наибольшем t решение задачи
¶u ¶t |
+ u |
¶u ¶x |
= sin x, |
|
u|t = 0 = 0 |
продолжается на интервал [0, t)? |
62. | Найти все решения уравнения
в окрестности точки (0,0). |
63. | Существует ли решение задачи Коши
y |
¶u ¶x |
+ sin x |
¶u ¶y |
= y, |
|
u|x = 0 = y4 |
на всей плоскости (x, y)? Единственно ли оно? |
64. | Имеет ли задача Коши u½y = x² = 1, (Ñu)2 = 1 гладкое решение в области y ³ x2? В области y £ x2? |
65. | Найти среднее значение функции ln r на окружности (x a)2 + (y b)2 = R2 (функции 1/r на сфере). |
66. | Решить задачу Дирихле
Du = 0 | | при x2 + y2 < 1; |
u = 1 | | при x2 + y2 = 1, y > 0; |
u = 1 | | при x2 + y2 = 1, y < 0. |
|
67. | Какова размерность пространства непрерывных при x2 + y2 ³ 1 решений задачи
Du = 0 при x2 + y2 > 1; |
|
¶u ¶n |
= 0 при x2 + y2 = 1? |
|
68. | Найти
inf |
òò |
( |
¶u ¶x |
) |
2 |
+ |
( |
¶u ¶y |
) |
2 |
dxdy |
| x² + y² £ 1 |
по C¥-функциям u, равным 0 в 0 и 1 при x2 + y2 = 1.
|
69. | Доказать, что телесный угол, опирающийся на заданный замкнутый контур, гармоническая вне контура функция вершины угла. |
70. | Вычислить среднее значение телесного угла, под которым виден круг x2 + y2 £ 1, лежащий в плоскости z = 0, из точек сферы x2 + y2 + (z 2)2 = 1. |
71. | Вычислить плотность заряда на проводящей границе полости x2 + y2 + z2 = 1, в которую помещен заряд q = 1 на расстоянии r от центра. |
72. | Вычислить в первом приближении по e влияние сжатия Земли (e » 1/300) на гравитационное поле Земли на расстоянии Луны (считая Землю однородной). |
73. | Найти (в первом приближении по e) влияние несовершенства почти сферического конденсатора R = 1 + ej(j, q) на его емкость. |
74. | Нарисовать график u(x,1), если 0 £ x £ 1,
¶u ¶t |
= |
¶2u ¶x2 |
, |
u|t = 0 = x2, |
|
u|x² = x = x2. |
|
75. | Вследствие годовых колебаний температуры земля в городе N промерзает на глубину 2 м. На какую глубину она промерзла бы вследствие суточных колебаний такой же амплитуды? |