Экзамен по дифференциальным уравнения,
механико-математический факультет МГУ, 1991 г.
Первый день | |||||||||||||
Один из 6 вариантов. | |||||||||||||
1. | Найти образ вектора | ||||||||||||
2. | В каких координатах разделяются переменные в уравнении
| ||||||||||||
3. | Имеет ли задача Коши
| ||||||||||||
4. | Устойчиво ли по Ляпунову решение системы
| ||||||||||||
Второй день | |||||||||||||
Дана система (6 вариантов):
| |||||||||||||
1. | Найти положения равновесия и исследовать их устойчивость. | ||||||||||||
2. | Все ли решения системы продолжаются неограниченно? | ||||||||||||
3. | Сколько ненулевых решений, для которых | ||||||||||||
4. | Найти производную решения с начальным условием | ||||||||||||
Третий день | |||||||||||||
Дана система (6 вариантов):
| |||||||||||||
1. | и 2. как в предыдущий день. | ||||||||||||
3. | Найти диффеоморфизм плоскости, выпрямляющий поле направлений фазовых кривых в окрестности точки | ||||||||||||
4. | Найти все непрерывные на всей плоскости первые интегралы, совпадающие с y на оси y. | ||||||||||||
Четвёртый день | |||||||||||||
Дана система (6 вариантов):
| |||||||||||||
1. | как в предыдущие дни. | ||||||||||||
2. | Найти все начальные условия, для которые решения продолжаются неограниченно вперёд. | ||||||||||||
3. | Найти образ вектора | ||||||||||||
4. | Найти все первые интегралы, непрерывные в окрестности точки | ||||||||||||
Пятый день | |||||||||||||
Рассматривается задача (один из 6 вариантов):
| |||||||||||||
1. | Имеет ли задача определённое на всей плоскости неограниченное решение? | ||||||||||||
2. | Ограничена ли величина u на характеристиках? | ||||||||||||
3. | Все ли характеристики пересекают поверхность | ||||||||||||
4. | Имеет ли уравнение характеристик первый интеграл, производная которого по u в начале координат равна 1? Найти производную этой производной по u вдоль характеристического вектора. | ||||||||||||
Шестой день | |||||||||||||
Дано уравнение (6 вариантов):
| |||||||||||||
1. | Продолжается ли решение с начальным условием | ||||||||||||
2. | Ограничена ли третья производная по a при | ||||||||||||
3. | Вычислить значение этой производной при | ||||||||||||
4. | Вычислить десятую производную решения с начальным условием | ||||||||||||
Седьмой день | |||||||||||||
Дано уравнение (6 вариантов):
| |||||||||||||
1. | Найти третью производную решения с начальным условием | ||||||||||||
2. | Продолжается ли это уравнение на всю ось t? | ||||||||||||
3. | Имеет ли уравнение неограниченные решения? | ||||||||||||
4. | Найти число асимптотически устойчивых периодических решений уравнения. |
Ниже приведены экзаменационные задачи для студентов первого и третьего курсов различных европейский университетов: