13. Правильно используйте слова

Единицы информации, в порядке убывания, таковы: тема, глава, абзац, фраза, слово. Раздел о местоимениях был посвящен словам, хотя, в несколько более строгом смысле, он содержал рекомендации о стратегии стиля. Мой следующий совет, как он звучит в заголовке, не следует понимать прямолинейно; само собой разумеется, что слова надо использовать правильно. Но вот что я хочу подчеркнуть: следует тщательно обдумывать и точно дозировать слова, взывающие к здравому смыслу и интуиции, с одной стороны, и специальные математические слова (технические термины), — с другой. Это может глубоко влиять на математический смысл.

Общее правило: корректно пользуйтесь терминами логики и математики. Я не призываю к педантизму и не предлагаю размножать технические термины для понятий, на волосок отличающихся друг от друга. Наоборот, я имею в виду мастерство настолько тонкое, чтобы оно не бросалось в глаза.

Вот пример: «Доказать, что какое-то (any) комплексное число является произведением некоторого неотрицательного числа и числа с модулем 1». У меня были студенты, которые доказывали это так: «–4i — комплексное число; оно является произведением неотрицательного числа 4 и числа –i, имеющего модуль 1; это и требовалось доказать». Дело в том, что в разговорном английском языке слово «any» — двусмысленное; в зависимости от контекста оно может отвечать либо квантору существования либо квантору общности. Вывод: никогда не используйте слово «any» в математических сочинениях. Заменяйте его на «every» или на «each» или переделывайте фразу.

Вот один способ переделать фразу предыдущего абзаца, данную в качестве примера: условиться, что все «отдельные переменные» пробегают множество комплексных чисел, а потом написать нечто вроде такого выражения:

Я настоятельно советую не делать этого. Символика формальной логики необходима в обсуждении логики и математики, однако в качестве средства сообщения идей от одного смертного к другому она превращается в громоздкий шифр. Автор должен сначала перекодировать свою мысль (я отрицаю, что кто бы то ни было мыслит в терминах $, ", Ù и т.п.), а затем читатель вынужден расшифровать написанное автором; оба шага приводят к растрате времени и затрудняют понимание. Символическая запись, все равно, в стиле современного логика или классического эпсилониста, — это текст, который могут писать машины, и едва ли кто-нибудь, кроме машин, может этот текст читать.

О слове «any» достаточно. А вот — другие нарушители, которые, правда, обвиняются в меньших преступлениях: «где», «эквивалентно», «если... то... если... то». «Где» — обычно знак того, что автор нехотя подумал о том, о чем должен был подумать заранее. «Если n достаточно велико, то |а_n|<e, где e — любое наперед заданное положительное число»; болезнь и лечение от нее ясны. Слово «эквивалентный» для теорем — логическая бессмыслица. (Под теоремой я подразумеваю математическую истину, нечто доказанное. Осмысленное утверждение может быть неверным, но теорема быть неверной не может: «неверная теорема» — внутренне противоречивый термин.) Какой смысл говорить, что полнота пространства L² эквивалентна теореме о представлении линейных функционалов на L²? Имеется в виду, что доказательства обеих теорем — средние по трудности, и если одна из них (любая) уже доказана, то другую можно доказать с относительно меньшими усилиями. Логически точное слово «эквивалентный» здесь не годится. Оборот «если... то... если... то» представляет собой стилистический прием, часто употребляемый скорыми авторами и огорчающий медлительных читателей. «Если справедливо р, то если имеет место q, то выполняется r». Логически тут все в порядке (р Þ (q Þ r)), но психологически на этом месте непременно споткнешься. Обычно нужно только переделать фразу; однако, универсального способа переделать ее нет. Все зависит от того, что важнее в данном конкретном случае. Можно так: «если p и q, то r»; или «при условии p из предположения q следует вывод r»; есть и многие другие варианты.