Из наблюдений и опытов известно, что при воздействии одного тела на другое, второе тело также воздействует на первое. Например, билиардный шар сталкиваясь с другим шаром меняет характер его движения, но, при этом, его движение также меняется; Луна двигается по орбите вокруг Земли под действием земного притяжения также притягивает Землю, вызывая на ней, в частности, морские приливы и отливы.
На основе количественного анализа Ньютон вывел свой третий закон динамики: действие двух тел друг на друга равно по величине и направленно по одной прямой в противоположные стороны. То есть
Здесь сила F12 действует на первое тело со стороны второго, а F21 — сила действующая на второе тело со стороны первого. Поскольку силы F12 и F21 действуют на разные тела, они не уравновешивают друг друга.
Для материальной точки можно сформулировать третий закон Ньютона следующим образом: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными противоположно вдоль линии, соединяющей эти материальные точки.
Третий закон Ньютона дает количественную характеристику воздействия тел друг на друга, что позволяет перейти от рассмотрения механического движения одной материальной точки к произвольной системе материальных точек, а значит и описать движение тела в целом, движение системы тел и, в общем, движение произвольной механической системы.
Переход от одной материальной точки к системе материальных точек (то есть к телу в целом) производится исходя из того, что тело массой m можно разбить на n частей, каждая из которых может считаться материальной точкой с массой mi и радиус-вектором ri, i=1, …, n.
Центром масс или центром инерции системы материальных точек называют точку C с радиус-вектором, равным
В декартовой системе радиус-вектор центра инерции имеет следующие компоненты
Если тело находится в поле тяжести с ускорением свободного падения g, то разделив на g получим:
где P=mg и Pi=mi g — сила тяжести действующая на все тело в целом и силы тяжести действующие на i-ую материальную точку. То есть радиус-вектор центра инерции совпадает с радиус-вектором центра тяжести при условии постоянства ускорения свободного падения g для всех материальных точек системы (то есть линейные размеры тела во много раз меньше радиуса Земли).
Производная по времени от радиус-вектора центра инерции дает вектор скорости центра инерции:
где vi — вектор скорости i-й материальной точки. Умножив последнее выражение на m, получим выражение для импульса системы материальных точек:
Силы взаимодействия между телами механической системы называются внутренними силами, а силы действующие со стороны тел, не входящих в систему, называются внешними силами.
Рассмотрим систему из n материальных точек, причем i-ая точка действует на k-ую точку с силой Fik. Тогда на i-ую точку действует результирующая сила Fiin равная сумме сил Fik взаимодействия со стороны остальных точек (кроме k=i, так как точка не может действовать сама на себя) плюс результирующая всех внешних сил Fiex:
Согласно второму закону Ньютона уравнения движения для каждой материальной точки системы будет:
Складывая почленно уравнения системы и группируя попарно силы Fik и Fki, получим:
Согласно третьему закону Ньютона Fik=-Fki, следовательно все скобки в правой части уравнения равны нулю и окончательно получим:
В левой части поменяем суммирование и дифференцирование местами и получим производную по времени от полного импульса системы K; в правой части обозначим результирующую всех внешних сил, через F (называемый главным вектором внешних сил):
Мы получили, что скорость изменения импульса механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему. Это уравнение является аналогом второго закона Ньютона для материальной точки обобщенный с помощью третьего закона Ньютона до механической системы материальных точек.
Поскольку K=mvc, уравнение движения для центра инерции примет вид
то есть, центр инерции механической системы движется как материальная точка имеющая массу всей системы, под действием приложенного к системе главного вектора внешних сил. Последнее уравнение является основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.
Для описания, в общем случае, полного движения твердого тела необходимо рассматривать движение как сумму поступательного и вращательного движения.
Использованная литература